שווה שוקיים: חוצה זווית, תיכון וגובהגאומטריה 571 · שיעור 6

גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות

שיעור 6: שווה שוקיים: חוצה זווית, תיכון וגובה

פרק 2 · משולשים

1במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש = תיכון = גובה

2שלושת המשפטים ההפוכים

35 תרגילים פתורים, כולל הוכחה ותרגיל מורכב

משפט

חוצה זווית הראש = תיכון = גובה

AB = AC , AD חוצה את ∢A

נתון

📐 משפט: במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס

BD = DC

AD הוא תיכון לבסיס

AD ⊥ BC , ∢ADB = 90

AD הוא גובה לבסיס

💡 זה עובד גם הפוך: במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם חוצה זווית וגם גובה, והגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית וגם תיכון

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס

משפטים הפוכים

מתי משולש הוא שווה שוקיים?

📐 חוצה זווית שהוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים

📐 תיכון שהוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים

📐 חוצה זווית שהוא גם תיכון ← המשולש שווה שוקיים

כלומר: אם קטע שיוצא מקדקוד הוא שניים מתוך שלושה (חוצה זווית, תיכון, גובה) ← AB = AC

תרגיל 1 · חוצה זווית הראש · קל

במשולש ABC: AB = AC , AD חוצה את ∢A , BC = 12 , ∢B = 65
מצאו את BD , ∢ADB ו־∢BAD

AB = AC , AD חוצה זווית , BC = 12 , ∢B = 65

נתון

AD הוא גם תיכון: BD = DC

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא תיכון

BD = 12 : 2 = 6

D אמצע BC

AD הוא גם גובה: ∢ADB = 90

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גובה

∢BAD + ∢B + ∢ADB = 180

סכום הזוויות במשולש ABD

∢BAD = 180 − 65 − 90 = 25

מציבים ומעבירים אגף

✅ פתרון סופי: BD = 6 , ∢ADB = 90 , ∢BAD = 25

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

תרגיל 2 · תיכון לבסיס + משוואה · בינוני

במשולש ABC: AB = AC ו־AD תיכון לבסיס
נתון: ∢BAD = 3x + 5 , ∢CAD = 5x − 15. מצאו את x ואת זוויות המשולש

AB = AC , BD = DC

נתון

AD הוא גם חוצה זווית: ∢BAD = ∢CAD

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא חוצה זווית

3x + 5 = 5x − 15

מציבים את הנתונים

5 + 15 = 5x − 3x

מעבירים אגפים

20 = 2x

כינוס איברים דומים

x = 10

מחלקים את שני האגפים ב־2

∢BAD = 3 · 10 + 5 = 35

מציבים x = 10

∢CAD = 5 · 10 − 15 = 35 ✔

מציבים x = 10 (יצא שווה)

∢BAC = 35 + 35 = 70

הקרן AD בתוך הזווית

∢B = ∢C = (180 − 70) : 2 = 55

זוויות הבסיס שוות, וסכום הזוויות 180

✅ פתרון סופי: x = 10 , ∢A = 70 , ∢B = ∢C = 55

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

📐 כלל

אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

AB = AC ⟹ ∢B = ∢C

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

תרגיל 3 · משפט הפוך · בינוני

במשולש ABC הקטע AD הוא תיכון וגם גובה (D על BC)
נתון: AB = 9 , ∢B = 50. מצאו את AC ואת ∢A

BD = DC , AD ⊥ BC , AB = 9 , ∢B = 50

נתון

AB = AC

תיכון שהוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים

AC = 9

מציבים AB = 9

∢C = ∢B = 50

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∢A = 180 − 50 − 50 = 80

סכום הזוויות במשולש

✅ פתרון סופי: AC = 9 , ∢A = 80

📐 משפט הפוך

אם תיכון במשולש הוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

AB = AC ⟹ ∢B = ∢C

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

תרגיל 4 · הוכחה · מורכב

במשולש ABC הקטע AD חוצה את ∢A וגם מאונך ל־BC
הוכיחו בעזרת סכום זוויות: AB = AC

AD חוצה את ∢A , AD ⊥ BC

נתון

∢BAD = ∢CAD

הגדרת חוצה זווית

∢ADB = ∢ADC = 90

הגדרת גובה

∢B = 180 − 90 − ∢BAD

סכום הזוויות במשולש ABD

∢C = 180 − 90 − ∢CAD

סכום הזוויות במשולש ACD

∢B = ∢C

בשני הביטויים אותם מספרים, ו־∢BAD = ∢CAD

AB = AC

אם במשולש שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות

✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB = AC – המשולש שווה שוקיים

📐 הגדרה

חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות

📐 הגדרה

גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו

∢ADB = 90

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 משפט הפוך

אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות)

∢B = ∢C ⟹ AB = AC

תרגיל 5 · מורכב: שילוב משפטים

AB = AC , ∢BAC = 40 , AD גובה לבסיס. BE חוצה את ∢B ונפגש עם AD בנקודה E
מצאו את ∢ABE , ∢AEB ו־∢BED

AB = AC , ∢BAC = 40 , AD ⊥ BC , BE חוצה את ∢B

נתון

∢B = ∢C = (180 − 40) : 2 = 70

זוויות הבסיס שוות, וסכום הזוויות 180

∢ABE = ∢EBD = 70 : 2 = 35

BE חוצה את ∢B

AD גם חוצה את ∢A: ∢BAD = 40 : 2 = 20

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא חוצה זווית

∢AEB = 180 − 20 − 35 = 125

סכום הזוויות במשולש ABE

∢BED = 180 − 125 = 55

זוויות צמודות

בדיקה: 35 + 90 + 55 = 180 ✔

סכום הזוויות במשולש BED

✅ פתרון סופי: ∢ABE = 35 , ∢AEB = 125 , ∢BED = 55

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

AB = AC ⟹ ∢B = ∢C

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 הגדרה

חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס

📐 משפט הפוך

אם חוצה זווית במשולש הוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים

📐 משפט הפוך

אם תיכון במשולש הוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים

📐 משפט הפוך

אם חוצה זווית במשולש הוא גם תיכון ← המשולש שווה שוקיים

💡 שניים מתוך שלושה (חוצה זווית, תיכון, גובה) ← שווה שוקיים. בשווה שוקיים – הקטע מזווית הראש הוא כל השלושה.

בשיעור הבא: צלע מול זווית ואי־שוויון המשולש

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא